A equação de continuidade é uma lei física que afirma que a quantidade de massa ou fluido que entra em um sistema fechado é igual à quantidade de massa ou fluido que sai do sistema no mesmo período de tempo.
A equação de continuidade é válida para qualquer tipo de fluido, desde que o fluido seja incompressível e o fluxo seja estacionário, ou seja, a velocidade e as propriedades do fluido em qualquer ponto do sistema não variam com o tempo.
Um fluido incompressível é aquele que tem densidade constante e não altera seu volume em resposta à aplicação de pressão.
Exemplos da equação de continuidade
Abaixo estão alguns exemplos de sua aplicação na vida cotidiana:
Fluxo líquido em um tubo
Um exemplo clássico da aplicação da equação de continuidade é o fluxo de líquido em um tubo.
Suponha que um líquido flua através de um tubo de seção transversal A₁ com uma velocidade v₁ e então entre em um tubo de seção transversal A₂ com uma velocidade v₂.
Usando esta equação podemos dimensionar as seções do tubo para alterar a velocidade do fluxo.
Fluxo de água em um rio
A equação de continuidade também se aplica ao fluxo de água em um rio.
Esta equação é usada para calcular a velocidade da água em diferentes pontos do rio. Portanto, o comportamento do rio pode ser previsto em diferentes condições, como na construção de barragens ou na realização de obras de engenharia para controle de enchentes.
Fórmula matemática
Em termos matemáticos, a equação de continuidade é expressa pela seguinte fórmula:
A₁ * v₁ = A₂ * v₂
Onde:
- A₁ e A₂ são as áreas da seção transversal do conduíte ou tubo nos pontos 1 e 2, respectivamente.
- v₁ e v₂ são as velocidades do fluido nos pontos 1 e 2, respectivamente.
De acordo com a equação de continuidade, se a área da seção transversal do conduíte ou tubo através do qual o fluido flui permanece constante, então a velocidade do fluido e a vazão estão inversamente relacionadas. Em outras palavras, se a velocidade do fluido aumenta, a vazão diminui e vice-versa.
Relação com o princípio da continuidade
A equação da continuidade está intimamente relacionada com o princípio da continuidade que afirma que, num sistema de fluxo estável, a quantidade de fluido que entra deve ser igual à quantidade que sai, desde que não haja perdas ou acumulações.
Este princípio baseia-se na conservação da massa e aplica-se a fluidos incompressíveis (aqueles cuja densidade não muda significativamente, como a água) e em certos casos a fluidos compressíveis (como gases).
Em termos práticos, o princípio da continuidade implica que se um fluido se move através de uma conduta com diferentes áreas de secção transversal, a sua velocidade mudará para manter constante a taxa de fluxo volumétrico ou de massa. Por exemplo, se a passagem se estreita, o fluido deve aumentar a sua velocidade para compensar a redução na área, e vice-versa se a passagem se alargar.
Usos e aplicações práticas
A equação de continuidade tem múltiplas aplicações em física e engenharia, particularmente em mecânica de fluidos. Abaixo estão algumas de suas principais aplicações:
- Projeto do sistema de tubulação: Usado para calcular o fluxo e a velocidade do fluido em diferentes pontos do sistema de tubulação, permitindo que o diâmetro e o comprimento do tubo sejam dimensionados para garantir um fluxo constante e uniforme.
- Análise de vazão em dutos e canais: é aplicada para analisar a vazão de líquidos em dutos e canais, permitindo determinar a velocidade e a vazão em diferentes pontos do sistema.
- Otimização da eficiência de sistemas hidráulicos: é utilizado para otimizar a eficiência de sistemas hidráulicos, como turbinas e bombas, pois permite calcular a vazão e a velocidade do fluido em diferentes pontos do sistema e determinar o ideal geometria dos componentes do sistema.
Exercícios resolvidos
Exercício 1
Um tubo com seção transversal de 0,02 m² transporta água a uma velocidade de 2 m/s. Se o diâmetro do tubo for reduzido à metade do seu valor original, qual será a velocidade da água no tubo estreito?
Solução:
A equação de continuidade afirma que a vazão volumétrica do fluido que flui através do tubo é constante ao longo do fluxo. Portanto, podemos escrever:
A₁·v₁ = A₂·v₂
onde A1 é a seção transversal original do tubo, v1 é a velocidade original da água, A₂ é a seção transversal do tubo estreito e v₂ é a velocidade da água no tubo estreito.
Temos A₂ = A₁/4, pois o diâmetro do tubo é reduzido à metade do seu valor original, portanto A₂ = π(0,01 m)² = 0,000314 m².
Substituindo os valores conhecidos na equação de continuidade, obtemos:
0,02 m² × 2 m/s = 0,000314 m² × v₂
v₂ = (0,02 m² × 2 m/s) / 0,000314 m² = 127,39 m/s
Portanto, a velocidade da água no tubo estreito é 127,39 m/s.
Exercício 2
Um cano de 0,1 m de diâmetro transporta água a uma velocidade de 2 m/s. Se forem adicionados dois tubos de 0,05 m de diâmetro, qual será a velocidade da água em cada um dos tubos menores?
Solução:
A seção transversal de um tubo de 0,1 m de diâmetro é A₁ = π(0,05 m)² = 0,00785 m². Portanto, a vazão volumétrica da água que flui através do tubo de 0,1 m é:
Q = A₁v₁ = 0,00785 m² × 2 m/s = 0,0157 m³/s
A seção transversal de um tubo de 0,05 m de diâmetro é A₂ = π(0,025 m)² = 0,0001963 m². Como existem dois tubos de 0,05 m de diâmetro, a área total é A₃ = 2A₂ = 0,0003926 m². Portanto, a vazão volumétrica da água que flui através dos dois tubos de 0,05 m é:
Q = A₃·v₃
v3 = Q / A3 = 0,0157 m³/s / 0,0003926 m² = 40,11 m/s
Portanto, a velocidade da água em cada um dos tubos de 0,05 m de diâmetro é 40,11 m/s.