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Mecânica dos fluidos

Equação da continuidade: utilidade, exemplos e exercícios

Equação da continuidade: utilidade, exemplos e exercícios

A equação da continuidade é uma lei física que afirma que a quantidade de massa ou fluido que entra em um sistema fechado é igual à quantidade de massa ou fluido que sai do sistema no mesmo período de tempo.

Em termos matemáticos, a equação da continuidade é expressa pela seguinte fórmula:

A1 * v1 = A2 * v2

Onde:

  • A1 e A2 são as áreas da seção transversal do conduíte ou tubo nos pontos 1 e 2, respectivamente.

  • v1 e v2 são as velocidades do fluido nos pontos 1 e 2, respectivamente.

De acordo com a equação da continuidade, se a área da seção transversal do conduto ou tubo através do qual o fluido flui é mantida constante, a velocidade do fluido e a taxa de fluxo são inversamente relacionadas. Em outras palavras, se a velocidade do fluido aumenta, a vazão diminui e vice-versa.

Para que serve a equação da continuidade?

A equação da continuidade tem múltiplas aplicações na física e na engenharia, particularmente na mecânica dos fluidos. Aqui estão algumas de suas principais aplicações:

  1. Projeto do Sistema de Tubulação – Usado para calcular a vazão e a velocidade do fluido em diferentes pontos do sistema de tubulação, permitindo que o diâmetro e o comprimento dos tubos sejam dimensionados para garantir um fluxo constante e uniforme.

  2. Análise de escoamento em condutos e canais: é aplicada para analisar o escoamento de líquidos em condutos e canais, permitindo a determinação de velocidade e vazão em diferentes pontos do sistema.

  3. Otimização da eficiência dos sistemas hidráulicos: é utilizado para otimizar a eficiência dos sistemas hidráulicos, como turbinas e bombas, pois permite calcular o fluxo e a velocidade do fluido em diferentes pontos do sistema e determinar a geometria ideal do sistema componentes.

Para que tipo de fluidos é válido?

A equação da continuidade é válida para qualquer tipo de fluido, desde que o fluido seja incompressível e o fluxo seja estacionário, ou seja, a velocidade e as propriedades do fluido em qualquer ponto do sistema não variam com o tempo.

Um fluido incompressível é aquele que tem uma densidade constante e não muda seu volume em resposta à aplicação de pressão.

Exemplos de uso da equação da continuidade 

Seguem alguns exemplos de sua aplicação:

Fluxo de líquido em um tubo

Um exemplo clássico da aplicação da equação da continuidade é o fluxo de líquido em um tubo.

Suponha que um líquido escoe através de um tubo de seção transversal A1 com velocidade v1 e depois entre em um tubo de seção transversal A2 com velocidade v2 .

Usando esta equação, podemos dimensionar as seções do tubo para alterar a velocidade do fluxo.

Fluxo de água em um rio

A equação da continuidade também se aplica ao fluxo de água em um rio.

Esta equação é usada para calcular a velocidade da água em diferentes pontos do rio. Portanto, o comportamento do rio pode ser previsto em diferentes condições, como na construção de barragens ou na execução de obras de engenharia para controle de cheias.

Problemas resolvidos na equação da continuidade em um fluido

Exercício 1

Um tubo com seção transversal de 0,02 m² transporta água a uma velocidade de 2 m/s. Se o diâmetro do tubo for reduzido à metade de seu valor original, qual será a velocidade da água no tubo estreito?

Solução:

A equação da continuidade afirma que a taxa de fluxo volumétrico do fluido que flui através do tubo é constante ao longo do fluxo. Portanto, podemos escrever:

Av1 = Av2

onde A1 é a seção transversal original do tubo, v1 é a velocidade original da água, A2 é a seção transversal do tubo estreito e v2 é a velocidade da água no tubo estreito.

Temos A2 = A1 /4, pois o diâmetro do tubo é reduzido à metade do seu valor original, portanto A2 = π(0,01 m)² = 0,000314 m².

Substituindo os valores conhecidos na equação da continuidade, obtemos:

0,02 m² × 2 m/s = 0,000314 m² × v2

v2 = (0,02 m² × 2 m/s) / 0,000314 m² = 127,39 m/s

Portanto, a velocidade da água no tubo estreito é de 127,39 m/s.

Exercício 2

Um tubo de 0,1 m de diâmetro transporta água a uma velocidade de 2 m/s. Se dois canos de 0,05 m de diâmetro forem adicionados, qual será a velocidade da água em cada um dos canos menores?

Solução:

A seção transversal de um tubo de 0,1 m de diâmetro é A1 = π(0,05 m)² = 0,00785 m². Portanto, a vazão volumétrica de água que flui através do tubo de 0,1 m é:

Q = A1 v1 = 0,00785 m² × 2 m/s = 0,0157 m³/s

A seção transversal de um tubo de 0,05 m de diâmetro é A2 = π(0,025 m)² = 0,0001963 m². Como existem dois tubos de 0,05 m de diâmetro, a área total é A3 = 2·A2 = 0,0003926 m². Portanto, a vazão volumétrica de água que flui através dos dois tubos de 0,05 m é:

Q = A3 v3

v3 = Q / A3 = 0,0157 m³/s / 0,0003926 m² = 40,11 m/s

Portanto, a velocidade da água em cada um dos tubos de 0,05 m de diâmetro é de 40,11 m/s.

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Data de Publicação: 12 de maio de 2023
Última Revisão: 12 de maio de 2023